MAPAS CONCEPTUALES EN

MATEMATICAS.

Jose Maria del Castillo-Olivares Barberán.
MAPAS CONCEPTUALES Y FUNCIONES. *

EL MAPA CONCEPTUAL...¿ Qué es ? *

PAPEL EN EL APRENDIZAJE *

FUNCIONES Y MAPAS *

El papel del profesor. *

Objetivos más relevantes. *

BIBLIOGRAFIA *

MAPAS CONCEPTUALES Y FUNCIONES.
En un momento de transformación educativa , de creciente interés en la didáctica de las matemáticas , de búsqueda de modelos que progresivamente caminen hacia el aprendizaje significativo, nos aferramos con vigor a cuantas herramientas metodológicas se nos ofrezcan mostrando su eficacia.      
Y así, aferrado a un mapa conceptual tamaño cartulina sobre funciones efectuado por alumnos y observando alrededor un nuevo plano de posibilidades, trataremos de justificar y ejemplificar el uso de mapas conceptuales en Matemáticas.      
EL MAPA CONCEPTUAL...¿ Qué es ?      
Se trata de un gráfico de conceptos unidos mediante valores de verdad. Veamos los elementos que configuran los mapas, pues no se trata de esquemas ni de croquis, para señalar después su papel en el aprendizaje y tratar de ilustrar brevemente la justificación de su uso en la enseñanza de las matemáticas.

Sus elementos básicos son:

- Los conceptos. Como regularidades en los acontecimientos o en los objetos que se disignan mediante un término. (Novak).

- Las proposiciones. Es la unidad semántica más pequeña que tiene valor de verdad. Consta de conceptos y de palabras-enlace.

- Las palabras-enlace. Palabras que unen los conceptos y señalan los tipos de relación existente entre ambos.

En el mapa se organizan dichos elementos relacionándose gráficamente, y formando cadenas semánticas, es decir con significado.

Es fundamental considerar que no hay un sólo mapa conceptual correcto, lo importante son las relaciones entre los conceptos a través de las palabras-enlace para formar proposiciones que configuran un valor de verdad sobre el objeto estudiado. Y por tanto, entorno un concepto pueden señalarse diversidad de valores de verdad.

PAPEL EN EL APRENDIZAJE

Desde una perspectiva del aprendizaje como procesamiento de información y más específicamente en la línea de Ausubel del aprendizaje significativo, Novak (1988) introduce el mapa conceptual como una respuesta al aprendizaje significativo.

Siguiendo a A. Ontoria (1992, pg32) , se construye como un proceso:

- Centrado en el alumno y no en el profesor.

-Que atiende al desarrollo de destrezas y no se conforme sólo con la repetición memorística de la información por parte de alumno.

-Que pretenda el desarrollo armónico de todas las dimensiones de la persona, no solamente intelectuales.

Así pues, se trata de una propuesta metodológica de carácter abierto y por tanto, lo importante es la revisión crítica y la adaptación a las necesidades curriculares de cada profesor. Como ya sabemos, no todas las experiencias didácticas tienen los mismos resultados en los distintos grupos y niveles.

     
Respecto las destrezas cognitivas , los mapas de conceptos desarrollan:

-Las conexiones con ideas previas, tanto en su confección antes del desarrollo del tema , como en su tratamiento posterior.

-Capacidad de inclusión , dada la jerarquización de los conceptos y el nivel de comprensión que implica su relación.

-La diferenciación progresiva entre conceptos, sobre todo si se elaboran en diferentes momentos del desarrollo del tema.

-La integración o asimilación de nuevas relaciones cruzadas entre conceptos.

Así pues, el mapa conceptual aparece como una herramienta de asociación, interrelación , discriminación , descripción y ejemplificación de contenidos , con un alto poder de visualización.

Los mapas conceptuales han ido extendiendo su dominio de acción, en un principio aplicados a niveles superiores, universitarios, pronto adaptaron su elaboración en niveles de primaria y secundaria, incluso en preescolar (mapas preconceptuales). En algunas materias, como ciencias naturales ha sucedido que el mapa es el principio y fin del tema (ver editorial Santillana), con lo cual, al darse como elemento acabado y objetivo , da al traste con todas nuestras intenciones constructivas. Por alguna razón en Matemáticas todavía no se ha abrazado este recurso como método del aprendizaje significativo.Y sin embargo, es un tema vertical en nuestras preocupaciones didácticas.
Efectivamente, nuestros alumnos encaran resolución de problemas como "memorización de algoritmos" (aquí hay que poner esto...), sin relacionar conceptos ,(el dominio es lo de igualar a cero...) ; se enfrentan a conceptos como elementos aislados (por un lado van los límites y por otro las derivadas y si se trabaja la definición,se toma como dogma de fé) , o asociados si se solapan en un problema (como la derivada de la función en un punto con la pendiente de la tangente, por visualización de la gráfica, aunque no con la tangente del ángulo entre la recta y el eje de abcisas). O mencionando algunos de los destacados por Azcárate y Deulofeu en secundaria (1990, pg.78), concepción discreta de los puntos de una recta , errores de lectura y representación de puntos de coordenadas racionales, inversión en el orden de coordenadas , etc. Y en fin, todas las "curiosas" respuestas que cotidianamente encontramos en nuestros alumnos y señalan con claridad una disgregación de conceptos y aislamiento de los procedimientos matemáticos.
   

Una reflexión del problema, desde el modelo de análisis de contenidos propuesto por Amador Guarro Pallas (1988), nos lleva a afirmar que los constructos de contenidos matemáticos altamente caracterizados por operaciones de intersección, unión, atribución, producción, descomposición y transformación, (es decir, conceptos y principios y que por tanto requieren un aprendizaje significativo), están siendo enseñados y/o aprendidos como constructos de orden, esto es hechos y procedimientos.

Pero una función, no es un hecho, es un concepto, y se puede transformar, en una tabla o en una gráfica. Y la variabilidad, la continuidad, el crecimiento, monotonía, etc, son conceptos.

Y la importancia de esta diferencia radica en que éstos tienen atributos, características que los relacionan entre sí y permiten la asimilación de nuevos conceptos.

De aquí la importancia de los mapas, en primer lugar como herramienta metodológica que requiere la explicitación de las relaciones entre los conceptos del alumno, y en segundo lugar como herramienta de observación del profesor las lagunas conceptuales y relacionales.

Aunque ejemplifiquemos el método entorno del concepto de función para un nivel válido de segundo y tercero de B.U.P. (cuarto de ESO y primero de bachiller), la técnica se aplica en todos los niveles y bloques de contenidos.

 

FUNCIONES Y MAPAS

Ya que proponemos su utilización en todo el curso , es conveniente aclarar el proceso de construcción desde los primeros días del mismo. Normalmente ya están familiarizados con la técnica, pero no se trata de hacer esquemas. Fundamentalmente han de formarse proposiciones con significado , como criterios de verdad o falsedad anexando conceptos a través de las palabras-enlace.

Aprendiendo a mapear.

-Explicación breve y ejemplificada de lo que son conceptos y palabras-enlace.

-Escoger un apartado del tema en el que el alumno esté familiarizado. Un buen recurso para apoyarse puede ser un texto confeccionado por el profesor relativo a los triángulos. Por ejemplo: "El triángulo es un polígono de tres lados, tres ángulos y tres vértices. Se clasifican según sus lados en equiláteros, escalenos e isósceles.También los podemos clasificar según sus ángulos, si tienen los tres agudos son acutángulos, si tienen un obtuso son obtusángulos, y si tienen un ángulo recto, rectángulos.

-Escribir en la pizarra, en una columna los conceptos (de seis a diez) y en otra las palabras-enlace.

Así aparecerían polígono, triángulo, lado, ángulo, ángulo agudo,

triángulo obtusángulo, etc...

-El profesor construye el mapa enfatizándo cuales son los más generales e importantes (jerarquización) y buscando con los alumnos cuales son las palabras enlace más adecuadas. Ontoria señala que la elaboración de relaciones cruzadas es preferible abordarlo posteriormente.

-La clase se divide en grupos, y cada uno elabora un mapa sobre otro aspecto del tema. O por ejemplo completar el anterior incluyendo nuevos conceptos como cateto, hipotenusa, base, altura, área, mediatriz, mediana, bisectriz, baricentro,circuncentro, incentro, etc...

-Finalmente, cada grupo expone y explica su mapa al resto de la clase. Aquí puede resultar bastante útil el uso de retroproyectores.

Utilización de la técnica.

Bien, ya sabemos mapear, ¿ ahora qué ? .

Pues adelante con la unidad didáctica programada, clases expositivas, ejercicios-tipo, resolución de problemas, tareas grupales... etc. El único cambio es que cuando hayamos desarrollado un bloque conceptual, usaremos una sesión para hacer el mapa de esa parte.

En el ejemplo que exponemos a continuación nos centramos en la propuesta metodológica de Azcárate y Deulofeu (1990). Se introduce el concepto de función desde las gráficas, enfatizándo la dependencia entre variables, o elementos de dos conjuntos. Irán apareciendo conceptos: conjunto, aplicación, magnitud, variable, dominio, recorrido, imagen. Este puede ser el principio de un mapa conceptual que iremos completando a lo largo del tema. Así pues fijaremos los conceptos y dedicaremos una sesión para el mapa. MAPA 1.

Podemos cristalizar el significado de los conceptos a través de tareas individuales y colectivas, estudiando problemas como la variación del peso de un alumno o alumna hasta los veinte años, las horas diarias a lo largo del año , la distancia recorrida por dos automóviles en un viaje, o la variación de la temperatura según el tiempo de cocción.

Los nuevos conceptos pueden ser: dependencia entre variables, fenomenos causales, expresiones de la dependencia, (como descripción verbal, tablas, gráficas, fórmulas), características de variación. MAPA 2.

A estas alturas podemos evolucionar en el estudio de la variabilidad. Aparecerán conceptos como variación de la función, f(a)-f(b), variabilidad local, intervalo, tasa de variación media, pendiente de secante, límite de función, tasa instantánea de variación, pendiente de la tangente en un punto... Mapa 3.

Es el momento de empezar con las relaciones cruzadas, e ir completado nuestro mapa. Estableceremos relaciones entre variable dependiente e independiente, con la causalidad, con las formas de representar la dependencia, con la variación media y la instantánea. Es un buen momento para observar críticamente que tipo de interrelaciones establecen los alumnos y alumnas y con qué dificultades se enfrentan y cómo van organizando el conocimiento que les hemos transmitido.

 

Finalmente evolucionaremos hacia la abstracción, o globalidad si se prefiere, dibujando las gráficas de funciones como representaciones de dependencia sin un referente concreto de variabilidad entre magnitudes. Esto es, los "pasos" de representación, puntos de corte, continuidad, simetría, asíntotas, monotonías, extremos, de diveras funciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales, etc...MAPA 4.

A modo de ilustración, nos hemos visto en la obligación de presentar algunos mapas de diferentes aspectos tratados entorno las funciones, como se ve, sería un sólo mapa troceado,MAPA 5, y sin relaciones cruzadas. Sin embargo, como se ha señalado, un mapa hay que hacerlo, hay que construirlo, hay que rectificarlo, observando sus defectos.

No sirve si nos lo dan hecho.

 

 

El papel del profesor.

Es importante combinar correctamente en tiempo y forma el papel del profesor. En los primeros pasos prepondera un papel magistral y tratamiento expositivo. En la presentación de trabajos de campo con problemas-ejemplo ( como gráficas espacio-tiempo, crecimiento de población, consumo, etc) es un organizador de tareas, distribuyendo tareas y proporcionando fuentes de información. También existen exposiciones germinales (preguntas dirigidas, etc). En la confección de mapas es un asesor por grupos. La observación de los mapas permite evaluar la cantidad y claridad de los conceptos manejados, tanto por la jerarquía que presenten los grupos como por las relaciones cruzadas que plantean y la relación con los ejemplos tratados. Es así mismo un importante vehículo de investigación pues permite observar los errores y lagunas conceptuales, permitiendo analizar la significatividad de los ejemplos y funciones utilizadas, así como la línea argumental expositiva del tema.

Exponemos a continuación algunos apuntes de objetivos y contenidos para el diseño curricular de la unidad didáctica de Funciones, relativos al trabajo con mapas.

Objetivos más relevantes.

-Potenciar la relación entre conceptos matemáticos como conjunto, aplicación, función, dominio, recorrido, dependencia, variabilidad, crecimiento, límites, continuidad, etc...

-Potenciar el conocimiento matemático como un ámbito susceptible de discusión y debate.

-Potenciar el trabajo en equipo y negociación de tomas de decisiones.

Contenidos relativos a hechos conceptos y principios.

Información sobre fenómenos causales.

-Dependencia funcional: formas de expresar la dependencia, descripción verbal, tablas, gráficas, fórmulas.

-Características globales; continuidad, crecimiento, extremos, tendencia.

-Características locales; variabilidad, tasa de variación media.

-Funciones elementales, lineales, parabólicas, escalonadas.

(Añadiríamos en Matemáticas I el tratamiento intuitivo y gráfico de ramas infinitas, continuidad, derivabilidad ; la interpretación de propiedades haciendo uso del análisis; y funciones exponenciales trigonométricas y logarítmicas.)

Contenidos relativos a procedimientos.

Utilización de distintos lenguajes

-Utilización e interpretación del lenguaje gráfico teniendo en cuenta la situación que representa y utilizando el vocabulario y símbolos adecuados.

-Utilización e interpretación de mapas conceptuales para describir la relación entre conceptos; función, aplicación, conjuntos, dominio, recorrido, dependencia funcional, variabilidad, límite de función en un punto, continuidad intervalo, monotonías, etc...

-Utilización de expresiones algebraicas para describir gráficas.

Algoritmos y destrezas.

-Detección de errores en las propias relaciones entre conceptos.

-Creación de relaciones cruzadas entre conceptos.

Actitudes

-Valorar las propias aportaciones y sugerencias personales en la elaboración de los mapas.

-Valorar el debate y trabajo grupal como la manera más eficaz para realizar determinadas tareas.

-reconocimiento y valoración de las relaciones entre el lenguaje gráfico y otros conceptos y lenguajes matemáticos.

-curiosidad por investigar relaciones entre conceptos.

BIBLIOGRAFIA

-Ausubel, D. F.: "Psicología Educativa: Un punto de vista cognoscitivo." México. Trillas (1973).

-Azcárate, C. y Deulofeu, J.: "Funciones y Gráficas". Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. Ed. Síntesis. Madrid (1990)

-Castelnouvo, E.: "Didáctica de la matemática moderna".Trillas, México,(1970).

-Diseño Curricular Base para la E.S.O. (1989)

-Guarro,A. "Un modelo de análisis y representación de la estructura del contenido". Enseñanza (1988). Anuario interuniversitario de Didáctica, Num. 3.(237-267).

-Novak, J. D. y Gowin, D. B.: "Aprendiendo a aprender". Ed. Martínez Roca. Barcelona .

-Ontoria, A. y otros.: "Mapas Conceptuales: una técnica para aprender". Ed. Narcea. (1992).

-Puig Adam, P.: "La matemática y su enseñanza actual". Madrid, (1960).

-Resnick, L.B. y Ford, W.: "La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos".Ed. Paidós (1990)